Dado que e^ln(x) = x, (por definição), temos que,
ab = ab; e^ln(ab) = e^ln(a)*e^ln(b) = e^(ln(a)+ln(b))
Logo, ln(ab) = ln(a)+ln(b)
a/b = a/b; e^ln(a/b) = e^ln(a)/e^ln(b) = e^(ln(a)-ln(b))
Logo, ln(a/b) = ln(a)-ln(b)
a^b = a^b; e^ln(a^b) = (e^ln(a))^b = e^(b*ln(a))
Logo, ln(a^b) = b*ln(a)
ln(a)/ln(b) = z; ln(a) = z*ln(b) = ln(b^z); a=b^z; log_b(a) = z
Logo, ln(a)/ln(b) = log_b(a)
Seria trivial extender esses resultados para todas as bases, usando c^log_c no lugar de e^ln em todos os passos...
Melhor, log_b(x) = z <=> bˆz = x
ResponderExcluir1)
log_b(xy) = z, log_b(x)=t, log_b(y)=u
bˆz = xy, bˆt=x, bˆu=y
bˆz = bˆt*bˆu = bˆ(t+u)
Pela injetividade da função exponencial,
z=t+u
:. log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y)
2)
log_b(x/y) = z, log_b(x)=t, log_b(y)=u
bˆz = x/y, bˆt=x, bˆu=y
bˆz = bˆt/bˆu = bˆ(t-u)
Pela injetividade da função exponencial,
z=t-u
:. log_b(x/y) = log_b(x) - log_b(y)
3) log_b(xˆy) = z <=> bˆz = xˆy, log_b(x) = t <=> bˆt=x
xˆy = xˆy
bˆz = (bˆt)ˆy
bˆz = bˆ(y*t)
Pela injetividade da função exponencial,
z = y*t
:. log_b(xˆy) = y*log_b(x)
(Esse foi muito mais rápido do que se quisesse provar primeiro para expoente natural, depois inteiro negativo, depois fração unitária, depois racional, depois irracional, como o professor fez em aula.)
4) log_a(x) = z, log_b(x)=t, log_b(a)=u
aˆz=x, bˆt=x, bˆu=a
aˆz=bˆt
(bˆu)ˆz = bˆt
bˆ(uz) = bˆt
Pela injetividade da função exponencial,
uz = t
z = t/u
:. log_a(x) = log_b(x)/log_b(a)