Colisões elásticas imediatas

Cons. momento linear

m1v1 + m2v2 = m1w1 + m2w2

m1v1 - m1w1 = m2w2 - m2v2

m1(v1 - w1) = -m2(v2 - w2)

Cons. energia cinética

(1/2)m1v1^2 + (1/2)m2v2^2 = (1/2)m1w1^2 + (1/2)m2w2^2

m1v1^2 + m2v2^2 = m1w1^2 + m2w2^2

m1v1^2 - m1w1^2 = m2w2^2 - m2v2^2

m1(v1^2 - w1^2) = -m2(v2^2 - w2^2)

m1(v1 - w1)(v1 + w1) = -m2(v2 - w2)(v2 + w2)

De m1(v1 - w1) = -m2(v2 - w2) acima, em cons. momento linear, obtemos

m1(v1 - w1)(v1 + w1) = m1(v1 - w1)(v2 + w2)

Dividindo ambos os lados por m1(v1 - w1),

v1 + w1 = v2 + w2

w1 = (v2 - v1) + w2

w2 = (v1 - v2) + w1

Subst. em m1v1 + m2v2 = m1w1 + m2w2,

m1v1 + m2v2 = m1v2 - m1v1 + m1w2 + m2w2

2m1v1 + (m2 - m1)v2 = (m1 + m2)w2

w2 = (2m1v1 + (m2 - m1)v2)/(m1 + m2)

Analogamente,

w1 = (2m2v2 + (m1 - m2)v1)/(m2 + m1)

No caso em que m1 = m2, obtemos

w2 = 2m1v1/(2m1) = v1

w1 = 2m2v2/(2m2) = v2