Temos em primeiro lugar uma equação, a*x^2 + b*x + c = 0.
A forma fatorada dessa equação seria, para r1 e r2 adequados, a*(x - r1)*(x - r2) = 0, em que r1 e r2 são as raízes da equação.
Expandindo-se isso, temos: a*x^2 - a*r1*x - a*r2*x + a*r1*r2 = 0, ou, mais compactamente, a*x^2 - a*(r1 + r2)*x + a*r1*r2 = 0
Equacionando essas duas fórmulas, a*x^2 - a*(r1 + r2)*x + a*r1*r2 = a*x^2 + b*x + c, obtemos que a = a (trivial), b = - a*(r1 + r2), e c = a*r1*r2.
Disso obtemos r1 + r2 = - b/a e r1*r2 = c/a, que são as fórmas conhecidas de soma e produto.
Agora devemos notar que a partir de uma fórmula para r1 + r2 e uma para r1*r2 é possível obter uma fórmula para r1 - r2, e usando esta com r1 + r2 obter tanto r1 quanto r2. É o que faremos a seguir.
Pois (r1 + r2)^2 = r1^2 + 2*r1*r2 + r2^2. E (r1 - r2)^2 = r1^2 - 2*r1*r2 + r2^2. De modo que a diferença entre estes é claramente 4*r1*r2.
A fórmula para r1 - r2 é então: r1 - r2 = sqrt((r1 + r2)^2 - 4*r1*r2)
E r1 = ((r1 + r2) + (r1 - r2))/2, e r2 o contrário, r2 = ((r1 + r2) - (r1 - r2))/2.
De modo que, substituindo-se primeiro a fórmula para r1 - r2, e depois as fórmulas de soma e produto, obtemos:
r1 = ((r1 + r2) + sqrt((r1 + r2)^2 - 4*r1*r2))/2
r2 = ((r1 + r2) - sqrt((r1 + r2)^2 - 4*r1*r2))/2
r1 = ((- b/a) + sqrt((- b/a)^2 - 4*c/a))/2
r2 = ((- b/a) - sqrt((- b/a)^2 - 4*c/a))/2
Expandindo e simplificando, obtemos finalmente
r1 = ((- b/a) + sqrt(b^2/a^2 - 4*a*c/a^2))/2 = ((- b/a) + sqrt(b^2 - 4*a*c)/a)/2 = (- b + sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*a)
r2 = (pelo mesmo processo) (- b - sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*a)
Que de forma mais compacta se formula como
x = (- b +/- sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*a)
Que é o que queríamos.
Nenhum comentário:
Postar um comentário