Explicando ASA (Angle-Side-Angle) e SAS (Side-Angle-Side)

ASA:

Em ASA sabemos dois ângulos e um lado. Segundo a definição, eles estão em uma certa seqüência, mas isso não é necessário, pois sabendo dois ângulos sabemos todos os ângulos. Pois, digamos que saibamos Â, ^B, e C, como é proposto:

Então, Â + ^B + Ĉ = 180⁰, implicando que Ĉ = 180⁰ - Â - ^B. Logo este é o mesmo caso em que conhece-se todos os ângulos e apenas um lado. Pois bem, temos da lei dos senos que:

(sen Â)/A = (sen ^B)/B = (sen Ĉ)/C.

Sendo Â, ^B e Ĉ conhecidos, sen Â, sen ^B e sen Ĉ são conhecidos. Sabe-se também C. Resta descobrir A e B.

(sen Â)/A = (sen Ĉ)/C -> A = (sen Â)/((sen Ĉ)/C) = ((sen Â)/(sen Ĉ)) * C

e B = ((sen ^B)/(sen Ĉ)) * C.

Isso seria aplicável da mesma forma se o único lado conhecido fosse B ou A.
Assim, sabendo-se de antemão dois ângulos e um lado, é possível saber todos os ângulos e todos os lados. Este é o princípio tanto do ASA quanto do SAA.


SAS:

Em SAS sabemos dois lados e um ângulo, que é o ângulo adjacente a esses dois lados, dessa forma:

 

Então, segundo a figura, sabemos A, ^B e C. Se sabemos ^B, sabemos cos ^B, e a lei dos cossenos nos diz que:

B² = A² + C² - 2*A*C*(cos ^B) -> B = sqrt(A² + C² - 2*A*C*(cos ^B)

Logo, sabemos também B. Logo, pois sabemos ^B, sabemos (sen ^B)/B, e a lei dos senos nos diz que:

(sen Â)/A = (sen ^B)/B -> sen  = (A/B) * sen ^B ->  = arcsen((A/B) * sen ^B)

Ĉ = arcsen((C/B) * sen Ĉ)

Logo, sabendo A, ^B e C, sabemos também Â, B e Ĉ, isto é, todos os ângulos e lados do triângulo. Este é o princípio do SAS. O SSA é mais fácil, pois, sabendo-se A, C e Â, sabe-se imediatamente Ĉ:

sen Ĉ = (C/A) * sen  -> Ĉ = arcsen((C/A) * sen Â)

E ^B = 180⁰ - Â - Ĉ.

E B = ((sen ^B)/(sen Ĉ)) * C.


SSS:

Como bônus, o último princípio, que é saber todos os ângulos dados todos os lados (Side-Side-Side).

Em SSS, sabemos A, B e C.

Pela lei dos cossenos, vamos determinar um dos ângulos, digamos Â:

A² = B² + C² - 2*B*C*(cos Â) -> - 2*B*c*(cos Â) = A² - B² - C² -> cos  = (A² - B² - C²)/(- 2*B*C) ->  = arccos((A² - B² - C²)/(- 2*B*C)

Da mesma forma, Ĉ = arccos((C² - A² - B²)/(- 2*A*B))

e ^B = 180⁰ - Â - Ĉ.


Por enquanto é isso. Seria interessante expor aqui mais tarde o método numérico do cálculo do seno, do cosseno, do arco seno e do arco cosseno.

Note que AAA (Angle-Angle-Angle) não segue, pois define apenas uma classe de semelhança de triângulos, com infinitos triângulos satisfazendo a mesma propriedade. Não é possível determinar um triângulo único.

Como derivar (deduzir) a fórmula de Bhaskara

Temos em primeiro lugar uma equação, a*x^2 + b*x + c = 0.


A forma fatorada dessa equação seria, para r1 e r2 adequados, a*(x - r1)*(x - r2) = 0, em que r1 e r2 são as raízes da equação.


Expandindo-se isso, temos: a*x^2 - a*r1*x - a*r2*x + a*r1*r2 = 0, ou, mais compactamente, a*x^2 - a*(r1 + r2)*x + a*r1*r2 = 0


Equacionando essas duas fórmulas, a*x^2 - a*(r1 + r2)*x + a*r1*r2 = a*x^2 + b*x + c, obtemos que a = a (trivial), b = - a*(r1 + r2), e c = a*r1*r2.


Disso obtemos r1 + r2 = - b/a e r1*r2 = c/a, que são as fórmas conhecidas de soma e produto.


Agora devemos notar que a partir de uma fórmula para r1 + r2 e uma para r1*r2 é possível obter uma fórmula para r1 - r2, e usando esta com r1 + r2 obter tanto r1 quanto r2. É o que faremos a seguir.


Pois (r1 + r2)^2 = r1^2 + 2*r1*r2 + r2^2. E (r1 - r2)^2 = r1^2 - 2*r1*r2 + r2^2. De modo que a diferença entre estes é claramente 4*r1*r2.


A fórmula para r1 - r2 é então: r1 - r2 = sqrt((r1 + r2)^2 - 4*r1*r2)


E r1 = ((r1 + r2) + (r1 - r2))/2, e r2 o contrário, r2 = ((r1 + r2) - (r1 - r2))/2.


De modo que, substituindo-se primeiro a fórmula para r1 - r2, e depois as fórmulas de soma e produto, obtemos:


r1 = ((r1 + r2) + sqrt((r1 + r2)^2 - 4*r1*r2))/2

r2 = ((r1 + r2) - sqrt((r1 + r2)^2 - 4*r1*r2))/2


r1 = ((- b/a) + sqrt((- b/a)^2 - 4*c/a))/2

r2 = ((- b/a) - sqrt((- b/a)^2 - 4*c/a))/2


Expandindo e simplificando, obtemos finalmente


r1 = ((- b/a) + sqrt(b^2/a^2 - 4*a*c/a^2))/2 = ((- b/a) + sqrt(b^2 - 4*a*c)/a)/2 = (- b + sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*a)

r2 = (pelo mesmo processo) (- b - sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*a)


Que de forma mais compacta se formula como


x = (- b +/- sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*a)


Que é o que queríamos.