Estamos trabalhando na base 10.
Seja a_k ... a_0 uma forma abreviada de representar a_0 + 10*a_1 + 10ˆ2*a_2 + ... + 10ˆk*a_k , em que a_k, ... , a_0 são os dígitos de dado número na base 10, portanto inteiros de 0 a 9.
Então, seja n = a_k ... a_0, digo que 7 divide n se e somente se 7 divide a_k ... a_1 - 2*a_0, isto é, a_1 + 10*a_2 + 10ˆ2*a_3 + ... 10ˆ(k-1)*a_k - 2*a_0.
Demonstração.
Seja n tal que 7 o divide. Então 7|a_k ... a_0 = 10*a_k ... a_1 + a_0. Pelo teorema dos restos, o resto da divisão de a+b por c é igual ao resto da divisão de r_1+r_2 por c, em que r_1 é o resto da divisão de a por c e r_2 é o resto da divisão de b por c. Portanto, sendo 3 o resto da divisão de 10 por 3, 7|10*a_k ... a_1 + a_0 se e somente se 7|3*a_k ... a_1 + a_0. Como 7 e -2 são primos entre si,
7|3*a_k ... a_1 + a_0 <-> 7|-6*a_k ... a_1 -2*a_0
Como 7*a_k ... a_1 é múltiplo de 7,
7|-6*a_k ... a_1 -2*a_0 <-> 7|7*a_k ... a_1 -6*a_k ... a_1 -2*a_0 = a_k ... a_1 -2*a_0
Portanto, 7 divide a_k ... a_0 se e somente se 7 divide a_k ... a_1 - 2*a_0.
Exemplo,
n=10843
7|10843 <-> 7|1084-2*3=1078 <-> 7|107-2*8=91 <-> 7|9-2*1 = 7
7 divide 7, portanto 7 divide 10843.
